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位相を揺らす — FM

sin(carrier·t) の位相に、もう一本の sin(ratio·t) を足し込む。位相を別の波で揺さぶると、滑らかな正弦波が細かい起伏を持ち、倍音が立ち上がる。sin(carrier·t + index·sin(ratio·t)) の形で、index が揺さぶりの深さ、ratio が揺さぶる波と元の波の周波数比。

FM（周波数変調）。搬送波（carrier）の位相を変調波（modulator）の出力でずらす合成。sin(c·t + I·sin(m·t)) を展開すると、c の周りに c ± m、c ± 2m、… と等間隔の側帯波が並び、その振幅は変調指数 I に応じたベッセル関数で決まる。I を上げるほど離れた側帯波まで強くなり、倍音が増える。m/c が整数比なら側帯波が整数倍音に重なって楽音、非整数比なら不協和な金属音や鐘の響きになる。Chowning が 1970 年代に発見し、ヤマハ DX7 が世に広めた。

揺さぶる側の sin(ratio·t) だけを一本引く。位相に足し込む前の素の変調波で、ratio が変調波の山の数を決める。

ratio がゆっくり伸び縮みして、山の数が増えたり減ったりする。この変調波の値を、搬送波の位相に index 倍で足し込む。index が 0 なら足す量が 0 で、搬送波の素の正弦波がそのまま出る。index を上げると、変調波の山の所で搬送波の位相が速く進み、谷の所で遅れて、波形が伸び縮みしてとげとげしくなる。

index が 0 を通る瞬間は素の正弦波で、深くなるほど波形に細かい起伏が増える。倍音を一本ずつ足す加算合成と違い、足しているのは位相の中の一本だけで、出てくる倍音の本数が index 一つで変わる。次に ratio を変える。carrier を固定して ratio を整数と非整数で往復させると、波形が周期的に閉じる楽音と、周期からずれて崩れる非整数比の形が切り替わる。

export default (c) => {
  const w = c.canvas.width
  const h = c.canvas.height
  const mid = h / 2
  const amp = h * 0.34
  const carrier = 4
  const index = 2.4

let phase = 0
  let t = 0

return () => {
    phase += 0.018
    t += 0.008
    const ratio = 1 + (Math.sin(t) + 1) * 1.75

c.fillStyle = colors.paper
    c.fillRect(0, 0, w, h)

c.strokeStyle = colors.tintAlpha(120, 0.4)
    c.lineWidth = 1
    c.beginPath()
    c.moveTo(0, mid)
    c.lineTo(w, mid)
    c.stroke()

c.strokeStyle = colors.tintAlpha(0, 0.18)
    c.lineWidth = 4.2
    c.lineJoin = "round"
    c.beginPath()
    for (let x = 0; x <= w; x++) {
      const u = (x / w) * Math.PI * 2 + phase
      const y = mid - Math.sin(carrier * u + index * Math.sin(ratio * u)) * amp * 1.04
      if (x === 0) c.moveTo(x, y)
      else c.lineTo(x, y)
    }
    c.stroke()

c.strokeStyle = colors.tint(12)
    c.lineWidth = 2
    c.beginPath()
    for (let x = 0; x <= w; x++) {
      const u = (x / w) * Math.PI * 2 + phase
      const y = mid - Math.sin(carrier * u + index * Math.sin(ratio * u)) * amp
      if (x === 0) c.moveTo(x, y)
      else c.lineTo(x, y)
    }
    c.stroke()

return
  }
}

ratio が整数を通る所では波形が一周期で閉じて左右の繋ぎ目が揃い、整数からずれると周期がずれて起伏が乱れる。ratio を 2、index を中くらいに固定すると安定した楽音の波形になり、ratio を 1.41 のような非整数にすると鐘や金属のような崩れた波形になる。index が倍音の多さ、ratio が倍音の並び方を決める二つのつまみで、加算合成とは別の道から角の立った波形に届く。