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刻みが粗いと壊れる

毎フレーム位置を += 速度 で一歩進める。この一歩の幅が刻み（タイムステップ）。幅が狭いうちは、なめらかな曲線を細かい折れ線で近似しているだけで、軌道はほぼ正しい。幅を広げると折れ線が曲線から外れ、外れた位置で計算した力がさらに外れを呼ぶ。ばねや重力のように位置で力が変わる系では、その誤差が雪だるま式に膨らんで、振幅がどんどん増えて発散する。

オイラー積分（v += a; x += v）は一歩ごとに本物の軌道から外側へずれ、そのぶんエネルギーをわずかに足してしまう。減衰のないばねでも振幅が育って発散するのはこのため。同じ二行でも順序を入れ替えた x += v; v += a はシンプレクティック・オイラーで、エネルギーが一定値の周りで振動するだけで増え続けない。Verlet がオイラーより安定なのも、この誤差の溜まり方がおとなしいから。刻みを固定して、経過時間を貯め、貯まったぶんだけ固定刻みで回すアキュムレータを使うと、表示の滑らかさと計算の正しさが切り離せて、同じ初期条件なら毎回同じ結果になる（決定性）。

ばねの一歩はこの二行。中心からのずれ x に比例した力で速度を引き戻し、その速度で位置を進める。k がばねの硬さ。

// ばね 1 ステップ。x は中心からのずれ
v += -k * x // ずれに比例した力で速度を引き戻す
x += v // その速度で位置を進める

これを一フレームに一回だけ回すと刻みが粗くなる。k を強めにしたばねを一度はじいて、振れ幅の履歴をそのまま横へ流す。

弾いた直後は正弦の形で揺れるのに、波が進むほど振れ幅が育って、画面の上下へ振り切れていく。220 フレームごとに弾き直さないと、すぐ振り切れて消える。式は本物のばねと同じなのに、振幅だけが時間とともに増えていく。

直し方は、一フレームをさらに細かく刻むこと。同じ二行を sub 回に分けて、一回ぶんの dt を 1 / sub にする。刻みの幅だけ変えた三本を並べる。

export default (c) => {
  const w = c.canvas.width
  const h = c.canvas.height
  const k = 0.9 // ばね定数（わざと強め）

// 同じ初期条件のばねを、サブステップ数だけ変えて3本
  const make = (sub) => ({
    sub,
    x: 0,
    v: 0,
    trail: [],
  })
  const springs = [make(1), make(2), make(8)]
  const labels = ["sub 1", "sub 2", "sub 8"]

const restY = [h * 0.22, h * 0.5, h * 0.78]
  const amp = Math.min(w, h) * 0.3

let frame = 0

c.fillStyle = colors.paper
  c.fillRect(0, 0, w, h)

return () => {
    c.fillStyle = colors.paper
    c.fillRect(0, 0, w, h)
    frame += 1

// たまに弾いて、また揺らし始める
    if (frame % 220 === 0) {
      for (const s of springs) {
        s.x = 1
        s.v = 0
        s.trail = []
      }
    }

for (let i = 0; i < springs.length; i++) {
      const s = springs[i]
      // 1フレームを sub 回に分けて、刻みを細かくする
      const dt = 1 / s.sub
      for (let n = 0; n < s.sub; n++) {
        s.v += -k * s.x * dt
        s.x += s.v * dt
      }
      s.trail.push(s.x)
      if (s.trail.length > w) s.trail.shift()

const cy = restY[i]
      c.strokeStyle = colors.tintAlpha(0, 0.18)
      c.beginPath()
      c.moveTo(0, cy)
      c.lineTo(w, cy)
      c.stroke()

c.strokeStyle = colors.ink
      c.lineWidth = 1.5
      c.beginPath()
      for (let t = 0; t < s.trail.length; t++) {
        const yy = cy - s.trail[t] * amp
        if (t === 0) c.moveTo(t, yy)
        else c.lineTo(t, yy)
      }
      c.stroke()

c.fillStyle = colors.tint(58)
      c.fillText(labels[i], 6, cy - amp - 4)
    }
  }
}

三本とも同じばね、同じ初期条件なのに、上の sub 1 は揺れるたびに振幅が育って振り切れる。真ん中の sub 2 でだいぶ落ち着き、下の sub 8 はきれいな正弦のまま揺れ続ける。式は一文字も変えていない。一フレームの中で何回刻むかを増やしただけで、壊れていた式が安定する。sub を上げるほど計算は重くなるかわりに、軌道が本物のばねへ近づく。

検出して、めり込みを直す。その直し方はどれも刻みという同じ床の上に乗っていて、床が粗いと上物がいくら正しくても崩れる。ぶつかった瞬間に運動量を正しく交換するインパルス応答、速い物体がすり抜けないようにする連続衝突判定、回転を持つ剛体は未踏。