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複素数 — 回転と拡大

複素数 z = x + iy を平面の点だと思うと、z を掛けるのは回転と拡大を一度にやる操作になる。z → z² は各点の偏角を倍にし、原点からの距離を二乗する。

正方格子を z² に通すと、直交していた縦横の線が原点のまわりで角を倍に開かれて、放物線のように曲がる。それでも線と線の交わる角は直角のまま残る。

複素数の掛け算 z·w は、偏角どうしを足し、絶対値どうしを掛ける。だから z を掛けることが「回す＋伸ばす」の同時操作になる。z² は正則関数（複素微分可能）で、正則関数は局所で見ると回転と拡大しか起こさないため、微小な交差角を保つ。角度を保つ写像が等角写像（conformal map）。z² のほか exp(z)、(az+b)/(cz+d) のメビウス変換も等角で、地図投影（メルカトル図法は exp 系）や流体の翼まわりの流れの解析（Joukowski 変換）に使われる。

下は正方格子の縦線と横線をそれぞれ z² に通して引いている。plot の二行が z² そのもので、re² - im² と 2·re·im は複素数の掛け算を実部と虚部に分けて書いただけ。j を 0 から steps まで動かして一本の線を細かく刻み、各点を z² で写してから繋ぐ。

export default (c) => {
  const w = c.canvas.width
  const h = c.canvas.height
  const cx = w / 2
  const cy = h / 2
  const s = Math.min(w, h)
  const scale = s / 5
  const range = 1.3
  const lines = 11
  const steps = 60

c.fillStyle = colors.paper
  c.fillRect(0, 0, w, h)
  c.lineWidth = 1

const plot = (re, im) => {
    // z^2 = (re + i im)^2
    const zr = re * re - im * im
    const zi = 2 * re * im
    return [cx + zr * scale, cy - zi * scale]
  }

const drawLine = (fixed, horiz, i) => {
    const u = -range + (2 * range * i) / lines
    c.strokeStyle = i % 3 === 0 ? colors.ink : colors.tint(70)
    c.beginPath()
    for (let j = 0; j <= steps; j++) {
      const v = -range + (2 * range * j) / steps
      const p = horiz ? plot(v, u) : plot(u, v)
      if (j === 0) c.moveTo(p[0], p[1])
      else c.lineTo(p[0], p[1])
    }
    c.stroke()
  }

for (let i = 0; i <= lines; i++) drawLine(0, true, i)
  for (let i = 0; i <= lines; i++) drawLine(0, false, i)

return () => {}
}

格子を曲げているのに、交点の直角は崩れない。plot の中身を re² - im² / 2·re·im から、exp(z) の eʳᵉ·cos(im) / eʳᵉ·sin(im) に差し替えると、縦横の格子が同心円と放射状の線に開く。メビウス変換に替えるとまた別の曲げ方になり、どれも直交を直交のまま曲げる。

z²・指数・メビウス変換を毎フレーム切り替えながら格子を曲げている。