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ユークリッドリズム — 一様にばらまく

16 マスのうち 9 個を鳴らすとき、その 9 個をどこに散らすか。前から詰めると前半に偏る。なるべく等間隔に、しかも割り切れない数を機械的に散らす方法がある。

n マスに k 個を撒くとき、各マス i で floor(i·k/n) の値が一つ上がった瞬間を「鳴る」とする。これだけで k 個が一様に散る。下は左右に並べて、左が前から k 個詰めた版、右が floor(i·k/n) で散らした版。

const euclid = (n, k) => {
  const out = []
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    out.push(Math.floor((i * k) / n) !== Math.floor(((i + 1) * k) / n))
  }
  return out
}

export default (c) => {
  const w = c.canvas.width
  const h = c.canvas.height
  const n = 16
  const k = 7
  const R = Math.min(w / 2, h) * 0.34
  const ly = h / 2
  const lcx = w * 0.27
  const rcx = w * 0.73

// 左: 前から詰める / 右: ユークリッド
  const naive = Array.from({ length: n }, (_, i) => i < k)
  const even = euclid(n, k)

const drawRing = (cx, hits, label) => {
    c.strokeStyle = colors.tintAlpha(120, 0.4)
    c.lineWidth = 1
    c.beginPath()
    c.arc(cx, ly, R, 0, Math.PI * 2)
    c.stroke()

for (let i = 0; i < n; i++) {
      const a = (i / n) * Math.PI * 2 - Math.PI / 2
      const x = cx + Math.cos(a) * R
      const y = ly + Math.sin(a) * R
      c.fillStyle = hits[i] ? colors.ink : colors.tintAlpha(150, 0.5)
      c.beginPath()
      c.arc(x, y, hits[i] ? 6 : 3, 0, Math.PI * 2)
      c.fill()
    }
  }

let t = 0

c.fillStyle = colors.paper
  c.fillRect(0, 0, w, h)

return () => {
    c.fillStyle = colors.paper
    c.fillRect(0, 0, w, h)

drawRing(lcx, naive)
    drawRing(rcx, even)

// 共通の再生ヘッド
    t += 0.05
    const step = Math.floor(((t % n) + n) % n)
    const a = (step / n) * Math.PI * 2 - Math.PI / 2
    for (const cx of [lcx, rcx]) {
      c.strokeStyle = colors.tint(40)
      c.lineWidth = 2
      c.beginPath()
      c.moveTo(cx, ly)
      c.lineTo(cx + Math.cos(a) * R, ly + Math.sin(a) * R)
      c.stroke()
    }
  }
}

floor(i·k/n) は、i が 0 から n まで進むあいだに合計 k 回だけ整数の段を上がる。段を踏んだマスが鳴るので、ちょうど k 個になり、k 段が n 個のあいだに均される。左の前詰めは始点に固まり、右のユークリッドは円の上に等間隔で配られる。

ユークリッドリズム。二つの整数の最大公約数を求める互除法と同じ分配を音に使う。Godfried Toussaint が 2004 年の論文 "The Euclidean Algorithm Generates Traditional Musical Rhythms" で、世界中の伝統リズムの多くがこの一様分配で書けることを示した。E(3,8) はキューバのトレシージョ、E(5,8) はクラーベ、E(5,16) はブラジルのボサノヴァ。floor(i·k/n) の段差を数える方法と、n と k を互除法で割り続ける方法は、同じパターンを別の手順で出す。空間を等間隔に詰める黄金角充填や、誤差を配るディザと根が近い、割り切れないものを均す一族。

n と k の組で世界中のリズムが出る。k=7, n=16 を k=5, n=8 にするとクラーベになる。鳴る点が円の上に等間隔の対称として並ぶ。