折り返しを回す

折り返しは軸を一本通すだけだった。中心のまわりに n 個コピーして各コピーを 2π/n ずつ回すと、向きを少しずつ変えた複製が円を一周埋める。n 回対称。

中心から外へ伸びる一本の腕が基本領域。まっすぐな線分を n 個コピーして放射状に並べる。回すのは角度 a を 2π/n 刻みで振るだけで、全体をゆっくり回している。

同じ線分が 2π/n ずつずれて、中心の1点から放射状に出る。n を変えると腕の本数が変わり、大きくすると車輪のスポーク、小さくすると数本の放射になる。

直線だけだと放射にしかならない。腕に形を持たせると回転の効きが見える。中心からの距離 r に沿って横へ揺れる量 wobble を持つ折れ線にする。腕は {r, w} の点の列で、w が中心軸からの横ずれ。

// 基本領域（一本の腕）。中心から外へ、少し曲げた折れ線
const arm = []
for (let i = 0; i <= 20; i++) {
  const r = (i / 20) * reach
  const wobble = Math.sin(i * 0.6) * 14
  arm.push({ r, w: wobble })
}

各点の横ずれ w は角度のずれに直す。半径 r が大きいほど同じ横幅でも角度は小さくて済むので、w / (r + 1) で割って角度にする。根元は締まり、外側はゆるく開く腕になる。

// 一本の腕を角度 a に描く。w を r で割って角度のずれにする
for (let i = 0; i < arm.length; i++) {
  const p = arm[i]
  const ang = a + p.w / (p.r + 1)
  const x = cx + Math.cos(ang) * p.r
  const y = cy + Math.sin(ang) * p.r
  if (i === 0) c.moveTo(x, y)
  else c.lineTo(x, y)
}

この曲げた腕を n 個回す。腕は全部同じ向きにひねっているので、一方向にねじれた花になる。

腕が全部同じ向きにねじれて、回転だけが効いた C_n の絵になる。左右に揃った形にするには、各腕に鏡像をもう一本重ねる。横ずれの符号を反転した mir（+1 と -1）を掛けると、軸に対して折り返した腕が出る。

ねじれた腕と鏡像の腕が対になり、花が左右対称になる。回転に鏡映が足さって D_n になる。

n を整数で回すと腕が等間隔に揃う。割り切れない角度で回すと様子が変わる。黄金角 2π/φ²（約137.5度）で点を一つずつ置いていくと、どの整数本の腕にも乗らず、隙間が最も均等に詰まる。

整数の 2π/n は割り切れる回転で腕を揃え、黄金角は割り切れない回転で点を均す。同じ放射でも、回転の角度が整数比かどうかで密集と整列が裂ける。