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回転と並進を組み合わせる

並進（格子）と回転と鏡映を、平面を埋め尽くすように組み合わせる。両立できる組み合わせは有限しかなく、平面の繰り返し模様はちょうど17種類に分類される。壁紙群。

Truchet タイルは、1セルに四分円の弧を2本入れたタイル1種類だけで格子と回転を絡める。全セルを同じ向きで置くと、並進だけの p1 にあたる。

同じ向きの弧が縦横に揃って、斜めの縞が通る。1セルを cell ずつずらして置くだけで、ずらした先でも弧の端どうしが噛み合う。並進対称が効いている。

各セルの向きを 0 か 1 で選ぶと、同じ弧を90度回したタイルが混ざる。回したタイルが隣り合うと弧の端が繋がって曲線が伸び、並進に回転が足さった格子になる。時間で1セルずつ向きを反転させると、模様が組み変わる。

const drawTile = (c, x, y, cell, orientation) => {
  const r = cell / 2
  c.beginPath()
  if (orientation === 0) {
    c.arc(x, y, r, 0, Math.PI / 2)
    c.moveTo(x + cell, y + cell)
    c.arc(x + cell, y + cell, r, Math.PI, Math.PI * 1.5)
  } else {
    c.arc(x + cell, y, r, Math.PI / 2, Math.PI)
    c.moveTo(x, y + cell)
    c.arc(x, y + cell, r, Math.PI * 1.5, Math.PI * 2)
  }
  c.stroke()
}

export default (c) => {
  const w = c.canvas.width
  const h = c.canvas.height
  const n = 8
  const cell = w / n
  const grid = []
  for (let i = 0; i < n * n; i++) grid.push(i % 3 === 0 ? 1 : 0)
  let t = 0

paint()

return () => {
    t += 1
    if (t % 8 !== 0) return
    const i = (t / 8) % (n * n)
    grid[i] = grid[i] === 0 ? 1 : 0
    paint()
  }
}

向きを1つ切り替えるたびに、繋がっていた曲線がほどけ、別の所で新しい弧が繋がる。1種類のタイルを向きだけ変えて敷くと、格子の並進と弧の回転が同時に効いた壁紙群の対称になる。

平面を埋め尽くす対称性の組み合わせが、ちょうど17種類しかない（5回対称の格子は作れない）という事実が結晶学的制限定理。4回回転を持つ p4、それに鏡映を足した p4m、のように p や c で始まる記号で書き分ける。証明の核は、格子の並進と両立する回転の位数が 1, 2, 3, 4, 6 に限られること。5回対称の点を並べようとすると、回転で写った隣の中心が元の格子間隔より近づいて、最小間隔の前提が崩れる。雪の結晶（6回）やタイル床（4回）はあっても、5回対称で平面を周期的に敷き詰めることはできない。エッシャーが「正則分割」として実作で踏破したのも、この17種だった。

帯（1次元の繰り返し）に限ると、組み合わせは7種類に減る。並進だけ、並進＋上下鏡映、すべらせながら写す映進（グライド）、など。足跡が左右交互に並ぶのは、並進と映進が合わさった帯の対称になる。

無限に長い帯の上の繰り返し模様は、ちょうど7種類に分類される（フリーズ群）。生成元は4つ — 横の並進、縦軸の鏡映、横軸の鏡映、180度回転。これらに、半周期ずらしてから横軸で折り返す映進対称（glide reflection）を加えた組み合わせで7つ。壁紙群17種の、並進が1方向だけに退化した版にあたる。装飾の縁取り、編み物の縞、行進する足跡が、このどれかに収まる。